DM de Spé Maths

DM n°10



1) La réponse est dans la question, c'est une récurrence simple.

2) Vous avez le choix entre utiliser l'algorithme d'Euclide ( en un division vous avez la réponse ) ou remplacer x8 et x9 par leurs valeurs ( ce qui sera un peu plus compliqué pour x2007 et x2008 ).

3) Là encore, c'est une récurrence. Pour trouver yn il ne faut pas chercher compliqué : il suffit de remplacer xn par sa valeur dans l'expression qu'on vient de trouver.

4) Technique classique poiur les congruences : chercher un k tel que 2^k soit congru à 1 modulo 5 puis travailler dessus.

5) Le problème est que quand on utilise l'algorithme d'Euclide sur xn et yn, on obtient un résultat qui n'est valable que pour n > ou = 2. De ce fait, si vous l'utilisez ici, vous devrez en plus étudier séparément les cas où n = 0 et n = 1, et c'est ce que je fais. Il faut bien évidemment se servir des congruences vues à la question précédente.

Pour établir dn = 5 <=> 5 divise xn, n'oubliez pas de montrer que les relations est vraie dans les deux sens.